Question

給定圓P：x²+y²=2x及拋物線S：y²=4x，過圓心P作直線l，此直線與上述兩曲線的四個交點，自上而下順次記為A、B、C、D，如果線段AB、BC、CD的長按此順序構成一個等差數列，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：先確定圓P的標準方程，求出圓心與直徑長，設出l的方程，代入拋物線方程，求出|AD|，利用線段AB、BC、CD的長按此順序構成一個等差數列，可得|AD|=3|BC|，求出k的值，由此可求直線l的方程．
解答：解：圓P的方程為（x-1）²+y²=1，則其直徑長|BC|=2，圓心為P（1，0），
設l的方程為ky=x-1，即x=ky+1，代入拋物線方程得：y²=4ky+4，
設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
有，…（2分）
則．…（4分）
故
=，…（7分）
因此|AD|=4（k²+1）．…（8分）
因為線段AB、BC、CD的長按此順序構成一個等差數列，…（10分）
所以|AD|=3|BC|，即4（k²+1）=6
∴k=±…（12分）
∴l方程為或．…（14分）
點評：本題考查直線與圓、拋物線的位置關系，考查等差數列，考查學生的計算能力，確定|AD|是關鍵．