Question

已知A(2cosα，

3

sinα)、B(2cosβ，

3

sinβ)、C(-1，0)是平面上三個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)λ，使得

CA

=λ

BC

，則λ的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由得

CA

=λ

BC

得A，B，C三點(diǎn)公線，由A，B的坐標(biāo)不難發(fā)現(xiàn)：A，B均為橢圓

x2

4

+ 

y2

3

=1上的點(diǎn)，C為橢圓的左焦點(diǎn)，固畫出圖象，再結(jié)構(gòu)橢圓的性質(zhì)不難求出滿足條件的λ的取值范圍．

解答：解：∵A(2cosα，

3

sinα)、B(2cosβ，

3

sinβ)、C(-1，0)
A，B均為橢圓

x2

4

+ 

y2

3

=1上的點(diǎn)，C為橢圓的左焦點(diǎn)，如圖示，
由橢圓的性質(zhì)我們可得：
當(dāng)A點(diǎn)落在橢圓的左頂點(diǎn)，B點(diǎn)落在橢圓的右頂點(diǎn)上時(shí)，λ有最小值

1

3

；
當(dāng)A點(diǎn)落在橢圓的右頂點(diǎn)，B點(diǎn)落在橢圓的左頂點(diǎn)上時(shí)，λ有最大值3．
故λ的取值范圍為：[

1

3

，3]，
故答案為：[

1

3

，3]．

點(diǎn)評：本題考查的主要知識(shí)點(diǎn)是橢圓的基本性質(zhì)，但題目中并未直接給出點(diǎn)在橢圓上的已知條件，而是需要我們根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，自己進(jìn)行判定，如果錯(cuò)把本題的主要考查點(diǎn)當(dāng)成是向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，就會(huì)導(dǎo)致花費(fèi)大量的時(shí)間，而無法解決問題．