Question

數列{a_n}是等差數列，數列{b_n}滿足b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N*），數列{b_n}的前n項和為S_n．
（1）若數列{a_n}的公差d等于首項a₁，試用數學歸納法證明：對于任意n∈N*，都有S_n=

b1an+3

4d

；
（2）若數列{a_n}滿足：3a₅=8a₁₂＞0，試問n為何值時，S_n取得最大值？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，S₁=b₁，

b1a4

4d

=

b1(d+3d)

4d

=b₁，原式成立．假設當n=k時，S_k=

bkak+3

4d

成立，由此證明n=k+1時，等式仍然成立．
（2）由3a₅=8a₁₂＞0，知3a₅=8（a₅+7d），a₅=-

56d

5

＞0，所以d＜0．由a₁₆=a₅+11d=-

d

5

＞0，a₁₇=a₅+12d=

4d

5

＜0，知a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₆＞0＞a₁₇＞a₁₈，b₁＞b₂＞b₃＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈，由此能夠推導出S_n中S₁₆最大．

解答：解：（1）證明：當n=1時，S₁=b₁，

b1a4

4d

=

b1(d+3d)

4d

=b₁，原式成立．（1分）
假設當n=k時，S_k=

bkak+3

4d

成立，（2分）
則S_k+1=S_k+b_k+1=

bkak+3+bk+14d

4d

（4分）
=

akak+1ak+2ak+3+bk+14d

4d

=

akbk+1+bk+14d

4d

=

bk+1(ak+4d)

4d

=

bk+1ak+4

4d

（6分）
所以n=k+1時，等式仍然成立，故對于任意n∈N*，都有S_n=

bnan+3

4d

；（8分）
（2）因為3a₅=8a₁₂＞0，所以3a₅=8（a₅+7d），a₅=-

56d

5

＞0，所以d＜0
又a₁₆=a₅+11d=-

d

5

＞0，a₁₇=a₅+12d=

4d

5

＜0，（11分）
所以a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₆＞0＞a₁₇＞a₁₈，b₁＞b₂＞b₃＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈，
因為b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0，（13分）
a₁₅=a₅+10d=-

6d

5

＞0，a₁₈=a₅+13d=

9d

5

＜0，
所以a₁₅＜-a₁₈，所以b₁₅＞-b₁₆，b₁₅+b₁₆＞0，（15分）
故S₁₆＞S₁₄，所以S_n中S₁₆最大．（16分）

點評：本題考查數列和函數的綜合運用，解題時要認真審題，注意數列歸納法的合理運用，恰當地進行等價轉化．