Question

已知函數f（x）=2x³-3x²+3．
（1）求曲線y=f（x）在點x=2處的切線方程；
（2）若關于x的方程f（x）+m=0有三個不同的實根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將x=2分別代入原函數解析式和導函數解析式，求出切點坐標和切線斜率，由點斜式可得曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若關于x的方程f（x）+m=0有三個不同的實根，則-m值在函數兩個極值之間，利用導數法求出函數的兩個極值，可得答案．

解答：解：（1）當x=2時，f（2）=7
故切點坐標為（2，7）
又∵f′（x）=6x²-6x．
∴f′（2）=12
即切線的斜率k=12
故曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-7=12（x-2）
即12x-y-17=0
（2）令f′（x）=6x²-6x=0，解得x=0或x=1
當x＜0，或x＞1時，f′（x）＞0，此時函數為增函數，
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時函數為減函數，
故當x=0時，函數f（x）取極大值3，
當x=1時，函數f（x）取極小值2，
若關于x的方程f（x）+m=0有三個不同的實根，則2＜-m＜3，即-3＜m＜-2
故實數m的取值范圍為（-3，-2）

點評：本題考查的知識點是利用導數求曲線上過某點的切線方程，函數的極值，函數的零點，熟練掌握利用導數求切點斜率及極值是解答的關鍵．