Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB的中點．

（1）求證：AM∥平面PCD；
（2）設點N是線段CD上的一動點，當點N在何處時，直線MN與平面PAB所成的角最大？并求出最大角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1）

設平面PCD的法向量是

又

（2）解：由點N是線段CD上的一點，可設

；

；

平面PAB的一個法向量為

設MN與平面PAB成θ角，則

令1+λ=t∈[1，2]

當

∴當點N是線段CD上靠近點C的三等分點時，MN與平面PAB所成角最大，最大角的正弦值為

【解析】（1）以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求出 的坐標，再求出平面平面PCD的一個法向量 ，由 =0且AM面PCD內得答案；（2）利用空間向量求出使直線MN與平面PAB所成的角最大時N的位置，然后再求出平面PBN的一個法向量，而 是平面PAB的一個法向量，由兩個法向量所成角的余弦值求得結論．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．