Question

數列{a_n}的前W項和為S_n，且S_n=

n2+3n

2

{a_n}數列{c_n}，滿足c_n=

an，n為奇數 2n ，n為偶數

，
（I）求數列{a_n}的通項公式，并求數列{c_n}的前n項和{T_n}；
（II）張三同學利用第（I）問中的T_n設計了一個程序框圖（如圖），但李四同學認為這個程序如果被執行將會是一個“死循環”（即程序會永遠循環下去，而無法結束）．你是否同意李四同學的觀點？請說明理由．

Answer 1

分析：（I）、根據題中數列{a_n}的前n項和為S_n，的公式便可推導出數列{a_n}的通項公式，根據給出的c_n的通項公式，分別討論當n為奇數和偶數時數列{c_n}的前n項和{T_n}；
（II）分別討論當n為偶數和奇數時Tn-P的最終結果為2011，故李四的說法正確，該程序會是一個死循環．

解答：解：（I）當n=1時，a₁=S₁=

1+3

2

=2，
當n≥2時，an=Sn-S_n-1=

1

2

（n²+3n-（n-1）²-3（n-1）=n+1，
∴an=n+1（n），當n為偶數時，T_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（2²+2⁴+…+2ⁿ）=

n2+2n

4

+

4

3

（2ⁿ-1），
當n為偶數時，T_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（2²+2⁴+…+2^n-1）=

n2+4n+3

4

+

4

3

（2^n-1-1），
∴Tn=

n2+2n 4 + 4 3 (2n-1)   n為偶數 n2+4n+3 4 + 4 3 (2n-1-1)    n為奇數

；
（II）記D_n=T_n-P，則當n為偶數時，Dn=

n2+2n

4

+

4

3

（2ⁿ-1）-

n2

4

-24n=

4

3

（2ⁿ-1）-

47n

2

，
∴D_n+2-D_n=

4

3

（2ⁿ⁺¹-1）-

47(n+2)

2

-

4

3

（2ⁿ-1）-

47n

2

=2ⁿ⁺²-47，
∴從第四項開始，數列{D_n}的偶數項開始遞增，
而D₂，D₄，…，D₁₀均小于2010，D₁₂＞2010，即n偶數時，Dn=2011，
當n為奇數時，Dn=

n2+4n+3

4

+

4

3

（2^n-1-1）-

n2

4

-24n=

4

3

（2^n-1-1）-23n+

3

4

，
同理D_n+2-D_n=2ⁿ⁺¹-46，
∴從第五項開始，數列{D_n}的奇數項開始遞增，
而D₁，D₃，…，D₁₁均小于2010，D₁₃＞2010，即n偶數時，Dn=2011，
故李四的說法正確．

點評：本題考查了數列的基本知識和前n項和的求法以及循環結構，考查了學生的計算能力和對數列、循環結構的綜合掌握，解題時注意分類討論思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．