Question

已知函數f（x）=-x|x|+px．
（Ⅰ）當p=2時，畫出函數f（x）的一個大致的圖象，并指出函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）若函數y=f（x）-（p-1）（2x²+x）-1在區間[1，+∞）內有零點，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 當p=2時，f（x）=-x|x|+2x=

-x2+2x，x≥0 x2+2x，x＜0

，可畫出函數f（x）的大致的圖象，從而可得單調遞增區間；
（Ⅱ）若函數y=f（x）-（p-1）（2x²+x）-1在區間[1，+∞）內有零點，則方程-x²+px-2px²-px+2x²+x-1=0在區間[1，+∞）內有解，即方程2p=-(

1

x

)2+

1

x

+1在區間[1，+∞）內有解，求出右邊函數的值域即可得到實數p的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ） 當p=2時，f（x）=-x|x|+2x=

-x2+2x，x≥0 x2+2x，x＜0

．
函數f（x）的大致的圖象如圖，單調遞增區間為[-1，1]；　　　　　　　　（3分）
（Ⅱ）若函數y=f（x）-（p-1）（2x²+x）-1在區間[1，+∞）內有零點，
則方程-x²+px-2px²-px+2x²+x-1=0在區間[1，+∞）內有解，
即方程2p=-(

1

x

)2+

1

x

+1在區間[1，+∞）內有解．（5分）
令t=

1

x

，則t∈（0，1]，-t2+t+1=-(t-

1

2

)2+

5

4

∈[1，

5

4

]．
∴1≤2p≤

5

4

，
∴

1

2

≤p≤

5

8

．　　　　　（8分）

點評：本題考查絕對值函數，考查函數的零點，考查分離參數法的運用，解題的關鍵是分離參數，求函數的值域．