Question

（2011•上海模擬）在平面直角坐標系中，已知焦距為4的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的左、右頂點分別為A、B，橢圓C的右焦點為F，過F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S，若線段RS的長為

10

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C上存在兩個不同的點關于直線l：y=9x+m對稱，求實數m的取值范圍．
（3）若P為橢圓C在第一象限的動點，過點P作圓x²+y²=5的兩條切線PA、PB，切點為A、B，直線AB與x軸、y軸分別交于點M、N，求△MON（O為坐標原點）面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意得，c=2，故a²-b²=4，又橢圓過點（2，

5

3

），代入橢圓方程，列方程求解a，b即可求橢圓C的方程；
（2）設D、E是橢圓C上關于l：y=9x+m對稱的點，設直線DE的方程為y=-

1

9

x+n；聯立直線DE的方程與橢圓方程，根據判別式大于0求出n的范圍；再結合D，E的中點在直線l上得到m和n的關系，即可求實數m的取值范圍；
（3）設出P，A，B的坐標．得到直線PA與直線PB的方程，進而得到直線AB的方程，求出點M、N的坐標，表示出△MON的面積；再結合P為橢圓C在第一象限的動點即可求出面積的最小值．

解答：解：（1）依題意，橢圓過點( 2 ， 

5

3

 )，故

4 a2 + 25 9b2 =1 a2-b2=4

，解得

a2=9 b2=5

．…（3分）
橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．…（4分）
（2）設D、E是橢圓C上關于l：y=9x+m對稱的點，設直線DE的方程為y=-

1

9

x+n．
聯系方程得：

y=- 1 9 x+n x2 9 + y2 5 =1

⇒

46

405

x2-

2n

45

x+

1

5

n2-1=0，由△＞0得n2＜

46

9

又DE的中點G(

9n

46

，

45n

46

)在直線l上，代入得

45n

46

=9•

9n

46

+m⇒n=-

23

18

m，
代入△得-

6 46

23

＜m＜

6 46

23

．
（3）設P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則直線PA：x₁x+y₁y=5，直線PB：x₂x+y₂y=5
所以，直線AB：x₀x+y₀y=5，故M(

5

y0

，0)，N(0，

5

x0

)，所以S=

25

2x0y0

，
而1=

x 2 0

9

+

y 2 0

5

≥2•

x0y 0

3 5

⇒x0y0≤

3 5

2

，當且僅當x0=

3 2

2

，y0=

10

2

時等號成立．
此時Smin=

5 5

3

．

點評：本題綜合考查橢圓的性質及其應用、直線與橢圓的位置關系及直線，解題時要認真審題，注意運用方程思想等數學思想，同時考查了學生的基本運算能力、運算技巧、邏輯推理能力，難度較大．