Question

若函數(shù)g（x）=log_a（x+1）（a＞0，且a≠1），函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)h（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．
（Ⅰ）試寫出函數(shù)h（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=g（x）-h（x），判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并予以證明；
（Ⅲ）當0＜a＜1時，求f（x）＞0成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)h（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，則h（x）=g（-x），代入可得答案．
（II）先判斷函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，進而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，得到結(jié)論；
（III）由0＜a＜1，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的定義域，將原不等式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的整式不等式組，可得答案．

解答：解：（I）∵函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)h（x）的圖象關(guān)于y軸對稱
∴h（x）=g（-x）=log_a（-x+1）
（II）f（x）=g（x）-h（x）=log_a（x+1）-log_a（-x+1）的定義域為（-1，1），關(guān)于原點對稱
又∵f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（x+1）=-[log_a（x+1）-log_a（-x+1）]=-f（x）
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
（III）當0＜a＜1時，
不等式f（x）＞0可化為

1+x＞0 1-x＞0 1+x＜1-x

解得-1＜x＜0
即使F（x）＞0的x的取值范圍為（-1，0）

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．