Question

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為（

3

，0）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+1與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，P是弦AB的中點，OP的斜率為

2

3

（其中O為原點），求k的值．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線的右焦點與右頂點易知其標準方程中的c、a，進而求得b，則雙曲線標準方程即得；
（2）直線l與雙曲線法才聯立消去y，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，依據以線段AB的中點求得p點坐標，進而利用斜率是

2

3

，求出k 的值．．

解答：解：（1）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
由已知得 a=

3

，c=2，再由a2+b2=22，得b2=1．
故雙曲線C的方程為

x2

3

-y2=1．
（2）聯立

y=kx+1 x2 3 -y2=1

得：（1-3k²）x²-6kx-6=0
△=36k2+24（1-k2）＞0得：3k²＜2
∵1-3k²≠0
∴3k²＜2  3k²≠1
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

6k

1-3k2

  x₁x₂=-

-6

1-3k2

∴p點坐標為（

3k

1-3k2

，

1

1-3k2

）
∵kop=

2

3

 
∴

1

3k

=

2

3

∴k=

1

2

點評：本題考查雙曲線的標準方程與性質以及直線和圓錐曲線的位置關系，類題是歷年高考命題的熱點，試題具有一定的綜合性，覆蓋面大，字母運算能力是一大考驗．