Question

【題目】已知橢圓E:的焦點在軸上，A是E的左頂點，斜率為k （k > 0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA.

（Ⅰ）當t=4，時，求△AMN的面積；

（Ⅱ）當時，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）先求直線的方程，再求點的縱坐標，最后求的面積；（Ⅱ）設，寫出A點坐標，并求直線的方程，將其與橢圓方程組成方程組，消去，用表示，從而表示，同理用表示，再由及t的取值范圍求的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）設，則由題意知，當時，的方程為，.

由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為.

將代入得.解得或，所以.

因此的面積 .

（Ⅱ）由題意，，.

將直線的方程代入得.

由得，故.

由題設，直線的方程為，故同理可得，

由得，即.

當時上式不成立，

因此.等價于，

即.由此得，或，解得.

因此的取值范圍是.