Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），P為橢圓C上任意一點，且cos∠F₁PF₂的最小值為

1

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）動圓x²+y²=t²（

2

＜t＜

3

）與橢圓C相交于A、B、C、D四點，當t為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的定義，在△PF₁F₂中利用余弦定理算出cos∠F₁PF₂=

4a2-4

2|PF1|•|PF2|

-1．利用基本不等式算出|PF₁|•|PF₂|≤a²，結合a＞1得cos∠F₁PF₂≥1-

2

a2

，從而得到1-

2

a2

=

1

3

，解之得a²=3，進而可得橢圓C的方程；
（2）設A（x₀，y₀），得矩形ABCD的面積S=4|x₀y₀|．利用橢圓方程化簡，可得S滿足：S²=-

32

3

（x 02-

3

2

）²+24．再利用二次函數的圖象與性質加以計算，可得當t=

10

2

時矩形ABCD的面積最大，最大面積為2

6

．

解答：解：（1）因為P是橢圓C上一點，所以|PF₁|+|PF₂|=2a．
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2，由余弦定理得
cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

4a2-4

2|PF1|•|PF2|

-1．
因為|PF₁|•|PF₂|≤（

|PF 1|+|PF 2|

2

）²=a²，當且僅當|PF₁|=|PF₂|=a時等號成立．
∴由a＞1，可得cos∠F₁PF₂≥

4a2-4

2a2

-1=1-

2

a2

．
∵cos∠F₁PF₂的最小值為

1

3

，∴1-

2

a2

=

1

3

，解之得a²=3．
又∵c=1，∴b²=a²-c²=2，可得橢圓C的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）設A（x₀，y₀），則矩形ABCD的面積S=4|x₀y₀|．
因為

x02

3

+

y02

2

=1，所以y02=2(1-

1

3

x02)．
∴S²=16x₀²y₀²=-

32

3

（x 02-

3

2

）²+24．
∵-

3

＜x₀＜

3

且x₀≠0，∴當x₀²=

3

2

時，S²取得最大值24．
此時y₀²=1，t=

x02+y02

=

10

2

．
即當t=

10

2

時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為2

6

．

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓方程并討論矩形面積的最大值．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、二次函數的圖象與性質、余弦定理解三角形和基本不等式等知識，屬于中檔題．