Question

已知四棱錐P-ABCD的三視圖和直觀圖如圖：
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若E是側棱PC上的動點，是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結論．
（3）若F是側棱PA上的動點，證明：不論點F在何位置，都不可能有BF⊥平面PAD．

Answer 1

分析：（1）由三視圖可知，四棱錐中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，PC=2，再利用三棱錐的體積計算公式就看得出V_P-ABCD=

1

3

•PC•S_底．
（2）不論點E在何位置，都有BD⊥AE成立．連接AC，可得BD⊥AC，利用線面垂直的性質可得BD⊥PC，從而得到BD⊥平面PAC，即可得出結論；
（3）用反證法：假設BF⊥平面PAD，利用線面垂直的性質定理可得BF⊥AD．進而得到AD⊥平面PBC，可得AD⊥PA．利用PC⊥平面ABCD，可得AD⊥PC，于是AD⊥平面PDC，可得AD⊥PD．于是得到PA∥PD與PA∩PD=P矛盾即可．

解答：（1）解：由三視圖可知，四棱錐中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，PC=2，
∴V_P-ABCD=

1

3

•PC•S_底=

1

3

×2×1=

2

3

．
（2）不論點E在何位置，都有BD⊥AE成立．
證明：連接AC，由正方形ABCD可得BD⊥AC，
又∵PC⊥底面ABCD，
∴BD⊥PC，
又AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，
當E在PC上運動時，AE?平面PAC，
∴BD⊥AE恒成立．
（3）用反證法：假設BF⊥平面PAD，∵DA?平面PAD，∴BF⊥AD．
又AD⊥AB，AB∩BF=B，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PA．
∵PC⊥平面ABCD，∴AD⊥PC． 
∵AD⊥DC，DC∩PC=C，∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PD．
∴PD∥PA與PD∩PA=P項矛盾．
∴BF不可能垂直于平面PAD．

點評：熟練掌握線面垂直的判定與性質、正方形的性質、三棱錐的體積計算公式、反證法等是解題的關鍵．