Question

數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+2a_na_n+1-a_n=0．
（1）寫出數列的前5項；
（2）由（1）寫出數列{a_n}的一個通項公式；
（3）實數

1

99

是否為這個數列中的一項？若是，應為第幾項？

Answer 1

分析：（1）由已知a_n+1+2a_na_n+1-a_n=0得遞推關系式an+1=

an

1+2an

．進而由a₁=1可求得a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）利用（1）得出的前5項即可猜想出通項公式；
（3）利用通項公式解出n是否是正整數即可得到答案．

解答：解：（1）由于數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+2a_na_n+1-a_n=0，∴可得an+1=

an

1+2an

．
∴a2=

a1

1+2a1

=

1

1+2×1

=

1

3

；
a3=

a2

1+2a2

=

1 3

1+2× 1 3

=

1

5

；
a4=

a3

1+2a3

=

1 5

1+2× 1 5

=

1

7

；
a5=

a4

1+2a4

=

1 7

1+2× 1 7

=

1

9

．
（2）由（1）可猜想數列{a_n}的一個通項公式為an=

1

2n-1

（n∈N^*）．
（3）假設實數

1

99

是這個數列中的一項，則

1

99

=

1

2n-1

，解得n=50．
因此

1

99

是這個數列的第50 項．

點評：正確理解遞推關系是解題的關鍵．