Question

將邊長為1的正三角形ABC按如圖所示的方式放置，其中頂點A與坐標原點重合．記邊AB所在直線的傾斜角為θ，已知．
（Ⅰ）試用θ表示的坐標（要求將結果化簡為形如（cosα，sinα）的形式）；
（Ⅱ）定義：對于直角坐標平面內的任意兩點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），稱|x₁-x₂|+|y₁-y₂|為P、Q兩點間的“taxi距離”，并用符號|PQ|表示．試求|BC|的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）解法一：因為B（cosθ，sinθ），C（cos（θ+），sin（θ+）），…（2分）
所以=（cos（θ+）-cosθ，sin（θ+）-sinθ），…（3分）
=（-sinθ-cosθ，cosθ-sinθ）
=（cos（θ+），sin（θ+））．…（7分）
解法二：平移到（B移到A，C移到D），…（2分）
由的坐標與的坐標相等，都等于點D的坐標．…（3分）
由平幾知識易得直線AD的傾斜角為+θ，
∵=1，
∴根據三角函數的定義可得D（cos（θ+），sin（θ+）），
所以=（cos（θ+），sin（θ+））．…（7分）
（Ⅱ）解法一：
|BC|=|cos（θ+）|+|sin（θ+））|，…（8分）
∵θ∈[0，]，
∴θ+∈[，π]，…（9分）
∴|BC|=-cos（θ+）+sin（θ+）…（11分）
=sin（θ+），…（12分）
所以當時，|BC|取得最大值．…（13分）
解法二：|BC|=|cos（θ+）-cosθ|+|sin（θ+）-sinθ|，…（8分）
∵0≤θ≤，
∴≤θ+≤＜π，即0≤θ＜θ+＜π，
∴=cosθ-cos（θ+）．…（9分）
∵0≤θ≤，
∴-θ≥（θ+）-，
∴=sin（θ+）-sinθ，…10分
|BC|=cosθ-cos（θ+）+sin（θ+）-sinθ
=sin（θ+）+cos（θ+）
=sin（θ+），…（12分）
所以當θ=，|BC|取得最大值．…（13分）
分析：（Ⅰ）解法一：由B（cosθ，sinθ），C（cos（θ+），sin（θ+））可求得的坐標，利用兩角和與差的三角函數公式即可求得．
解法二：由直線AD的傾斜角為+θ，=，利用三角函數的定義可求得D點的坐標為：D（cos（θ+），sin（θ+）），即的坐標；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）解法二可知|BC|=|cos（θ+）|+|sin（θ+））|，而θ∈[0，]，可求得θ+∈[，π]，從而可得|BC|=-cos（θ+）+sin（θ+），整理可得|BC|=sin（θ+），繼而可得答案；
解法二：由（Ⅰ）解法一可知|BC|=|cos（θ+）-cosθ|+|sin（θ+）-sinθ|，由0≤θ≤，可得0＜θ+＜π，從而=cosθ-cos（θ+），同理=sin（θ+）-sinθ，于是|BC|=sin（θ+）+cos（θ+），再利用輔助角公式即可得答案．
點評：本小題主要考查三角函數的定義、兩角和與差的三角函數公式、平面向量等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，綜合性強，屬于難題．