Question

在平面直角坐標系XOY中，已知定點A（0，a），B（0，-a），M，N是x軸上兩個不同的動點，

OM

•

ON

=4a2(a∈R，a≠0)，直線AM與直線BN交于C點．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）若存在過點（0，-1）且不與坐標軸垂直的直線l與點C的軌跡交于不同的兩點E、F，且|AE|=|AF|，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出點的坐標：C（x，y），M（m，0），N（n，0），根據(jù)A、C、M三點共線得到式子

a

-m

=

y-a

x

，根據(jù)B、C、N三點共線得到

-a

-n

=

y+a

x

，兩個式子的左右兩邊對應相乘得到

-a2

mn

=

y2-a2

x2

，結合

OM

•

ON

=4a2得到mn=4a²，代入前面式子，化簡整理可得：

x2

4a2

+

y2

a2

=1，即為點C的軌跡方程；
（2）設過點（0，-1）的直線l方程是y=kx-1，與橢圓消去y得關于x的方程：（1+4k²）x²-8kx+4-4a²=0…（*）．再設直線l與交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)|AE|=|AF|得：x12+(y1-a)2=x22+(y2-a)2，將此式移項因式分解，結合經(jīng)過兩點的斜率公式，得：-k=

x1+x2

y1+y2-2a

，利用直線l的方程化簡可得：

x1+x2

k(x1+x2)-2-2a

=-k．再將求出的一元二次方程利用根與系數(shù)的關系，得到x1+x2=

8k

1+4k2

，代入前式化簡得到k2=

3-a

4a

，將此式代到方程（*）的根的判別式，建立不等式，解之即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）設點C（x，y），M（m，0），N（n，0），則

OM

•

ON

=mn=4a2（其中a∈R，a≠0）
∵A、C、M三點共線，B、C、N三點共線，
∴

a-0

0-m

=

y-a

x-0

且

-a-0

0-n

=

y+a

x-0

，
即

a

-m

=

y-a

x

…①，

-a

-n

=

y+a

x

…②
①、②的左右兩邊對應相乘，得

-a2

mn

=

y2-a2

x2

，
將mn=4a²代入，得

y2-a2

x2

=-

1

4

整理，得：

x2

4a2

+

y2

a2

=1，即為點C的軌跡方程；
（2）設過點（0，-1）的直線l方程是y=kx-1
由

y=kx-1 x2 4a2 + y2 a2 =1

消去y，得關于x的方程：（1+4k²）x²-8kx+4-4a²=0，
設直線l與交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由一元二次方程根與系數(shù)的關系，得

x1+x2= 8k 1+4k2 x1x2= 4-4a2 1+4k2

，
∵直線l點C的軌跡交于不同的兩點
∴△=64k²-4（1+4k²）（4-4a²）＞0，得4a²k²+a²-1＞0…（1）
由|AE|=|AF|得：x12+(y1-a)2=x22+(y2-a)2，
移項，因式分解得：(x1 +x2)(x1-x2)=(y2-y1)(y1+y2-2a)
所以有：-k=

y2-y1

x1-x2

=

x1+x2

y1+y2-2a

∵y₁=kx₁-1，y₂=kx₂-1
∴

x1+x2

k(x1+x2)-2-2a

=-k，
將x1+x2=

8k

1+4k2

代入上式，化簡得k2=

3-a

4a

…（2）
∵k²＞0，∴0＜a＜3，
把（2）代入（1）得：a（3-a）+a²-1＞0
化簡，解此不等式得：a＞

1

3

，
∴

1

3

＜a＜3

點評：本題給出一個特殊的動點，通過求軌跡方程和字母參數(shù)的取值范圍，著重考查了平面向量的數(shù)量積、求軌跡方程的一般步驟和一元二次方程根與系數(shù)的關系、根的判別式等知識點，考查了設而不求的數(shù)學解題方法，屬于難題．