Question

（2012•衡陽模擬）某單位為了解決職工的住房問題，計劃征用一塊土地蓋一幢總面積為30000m²的宿舍樓（每層的建筑面積相同），已知土地的征用費用為2250 元/m²，土地的征用面積為第一層的1.5倍，經工程技術人員核箅，第一層的建筑費用為400 元/m²，以后每增高一層，該層建筑費用就增加30 元/m²．設這幢宿舍樓的樓高層數為n，總費用為y 萬元（總費用為建筑費用和征地費用之和）．
（1）求總費用y（萬元）與樓高層數n之間的函數關系；
（2）這幢宿舍樓的樓髙層數為多少層時，總費用最少，并求出最少費用．

Answer 1

分析：（1）設樓高為n層，求出征地面積、征地費用、樓層建筑費用，從而可得總費用；
（2）利用基本不等式，即可求得最小總費用．

解答：解：（1）設樓高為n層，則征地面積為

1.5×3000

n

（m²），征地費用為2250×

1.5×3

n

（萬元）
樓層建筑費用為[400n+

n(n-1)

2

×30]×

3

n

（萬元）
從而總費用為：y=[400n+

n(n-1)

2

×30]×

3

n

+2250×

1.5×3

n

=15×（3n+

675

n

+77）
（2）由y=15×（3n+

675

n

+77）得y=15×（3n+

675

n

+77）≥15×(2

3n× 675 n

+77)=2505
當且僅當3n=

675

n

，解得n=15（層）時，總費用y最小．
故當這幢宿舍的樓高層數為15層時，最小總費用為2505萬元．

點評：本題考查了等差數列前n項和公式，考查基本不等式的運用，確定函數解析式是關鍵．