Question

設x，y滿足約束條件

0≤x≤1 0≤y≤4

，若目標函數z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值為8，則a+b的最小值為（　　）

• A．4
• B．8
• C．2
• D．2

  2

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的矩形OABC及其內部，再將目標函數z=abx+y對應的直線進行平移，可得當x=1且y=4時，z=abx+y的最大值為ab+4=8，得ab=4．由此利用基本不等式，即可求出a+b的最小值．

解答：解：作出不等式組

0≤x≤1 0≤y≤4

表示的平面區域，得到如圖所示的矩形OABC及其內部
其中A（1，0），B（1，4），C（0，4），O為坐標原點，
設z=abx+y對應的直線l進行平移，
可得當l經過點B（1，4）時，z=abx+y的最大值為ab+4=8，
∴ab=4．
∵a＞0，b＞0，可得

1

2

（a+b）≥

ab

=2
∴a+b≥4，當且僅當a=b=2時，a+b的最小值為4．
故選：A

點評：本題給出二元一次不等式組，在已知目標函數z的最大值的情況下，求a+b的最小值．著重考查了基本不等式、二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識．