Question

2002年8月，在北京召開的國際數學家大會會標如圖所示，它是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角為θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是

1

25

，則sin²θ-cos²θ的值等于

 

．

Answer 1

分析：根據題意可知每個直角三角形的長直角邊為cosθ，短直角邊為sinθ，小正方形的邊長為cosθ-sinθ，先利用小正方形的面積求得∴（cosθ-sinθ）²的值，根據θ為直角三角形中較小的銳角，判斷出cosθ＞sinθ  求得cosθ-sinθ的值，進而求得2cosθsinθ利用配方法求得（cosθ+sinθ）²的進而求得cosθ+sinθ，利用平方差公式把sin²θ-cos²θ展開后，把cosθ+sinθ和cosθ-sinθ的值代入即可求得答案．

解答：解：依題意可知拼圖中的每個直角三角形的長直角邊為cosθ，短直角邊為sinθ，小正方形的邊長為cosθ-sinθ，
∵小正方形的面積是

1

25

∴（cosθ-sinθ）²=

1

25

又θ為直角三角形中較小的銳角，
∴cosθ＞sinθ       
∴cosθ-sinθ=

1

5

      
又∵（cosθ-sinθ）²=1-2sinθcosθ=

1

25

∴2cosθsinθ=

24

25

∴1+2sinθcosθ=

49

25

即（cosθ+sinθ）²=

49

25

∴cosθ+sinθ=

7

5

  
∴sin²θ-cos²θ=（cosθ+sinθ）（sinθ-cosθ）=-

7

25

故答案為-

7

25

．

點評：本題主要考查了三角函數的化簡求值，同角三角函數的基本關系．考查了學生綜合分析推理和基本的運算能力．