Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的函數，且對任意a，b∈[-1，1]，當a≠b時，都有

f(a)-f(b)

a-b

＞0；
（Ⅰ）當a＞b時，比較f（a）與f（b）的大小；
（Ⅱ）解不等式f（x-

1

2

）＜f（2x-

1

4

）；
（III）設P={x|y=f（x-c）}，Q={x|y=f（x-c²）}且P∩Q=∅，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對任意a，b∈[-1，1]，都有

f(a)-f(b)

a-b

＞0，即可知f（x）單調遞增，由此即可得出結論．
（Ⅱ）本題為抽象不等式的求解，要利用函數單調性轉化為x-

1

2

與2x-

1

4

的不等式進行求解，但要考慮定義域．
（III）先求出P，Q，由P∩Q=∅，借助數軸可得到關于c的不等式，解出即可．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）是定義在[-1，1]上的函數，且對任意a，b∈[-1，1]，當a≠b時，都有

f(a)-f(b)

a-b

＞0
可得：f（x）在[-1，1]上為單調增函數，
因為a＞b，所以，f（a）＞f（b）
（Ⅱ）由題意及（Ⅰ）得：

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤2x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜2x- 1 4

，解得-

1

4

＜x≤

5

8

，
所以不等式f（x-

1

2

）＜f（2x-

1

4

）的解集為{x|-

1

4

＜x≤

5

8

}．
（III）由題意得：P={x|-1≤x-c≤1}，Q={x|-1≤x-c²≤1}，
即P={x|c-1≤x≤c+1}，Q={x|c²-1≤x≤c²+1}，
又因為P∩Q=∅，所以c+1＜c²-1或c²+1＜c-1，∴c＞2或c＜-1．
所以c的取值范圍是{x|c＞2或c＜-1}．

點評：本題主要考查了函數單調性的性質，對于抽象不等式的求解，主要利用其單調性去掉符號“f”，轉化為具體不等式求解，需要考慮函數定義域．