Question

已知b＞－1，c＞0，函數f(x)＝x＋b的圖像與函數g(x)＝x²＋bx＋c的圖像相切．

(Ⅰ)設，求；

(Ⅱ)設(其中x＞－b)在[－1，＋∞)上是增函數，求c的最小值；

(Ⅲ)是否存在常數c，使得函數H(x)＝f(x)g(x)在(－∞，＋∞)內有極值點？若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：[方法一]由， 　　依題設可知，． 　　∵b＞，c＞0， 　　∴，即． 　　[方法二]依題設可知，即， 　　∴為切點橫坐標， 　　于是，化簡得． 　　同法一得． 　　(Ⅱ)依題設， 　　∴． 　　∵在上是增函數， 　　∴≥0在上恒成立， 　　又x＞，c＞0，∴上式等價于≥0在上恒成立， 　　即≤，而由(Ⅰ)可知≤， 　　∴≥． 　　又函數在上的最大值為2， 　　∴≥2，解得c≥4，即c的最小值為4． 　　(Ⅲ)由， 　　可得． 　　令，依題設欲使函數在內有極值點， 　　則須滿足＞0， 　　亦即＞0，解得＜或＞， 　　又c＞0，∴0＜c＜或c＞． 　　故存在常數，使得函數在內有極值點．(注：若△≥0，則應扣1分．)