Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁的中點是P，則三棱錐P-B₁BC₁外接球的表面積為

9π

．

Answer 1

分析：根據題意，三棱錐P-B₁BC₁外接球就是以B₁B、B₁C₁、BP為長寬高的長方體的外接球．由此結合題中數據算出長方體的對角線長，得到外接球的直徑，從而得到半徑R=

3

2

，結合球的表面積公式即可算出答案．

解答：解：∵B₁B、B₁C₁、BP兩兩互相垂直，
∴三棱錐P-B₁BC₁外接球，就是以B₁B、B₁C₁、BP為長寬高的長方體的外接球
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為2
∴以B₁B、B₁C₁、BP為長寬高的長方體的對角線長為

12+22+22

=3
可得三棱錐P-B₁BC₁外接球外接球直徑等于3，半徑R=

3

2

因此，外接球的表面積為S=4πR²=9π
故答案為：9π

點評：本題給出正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱A₁B₁的中點P，求三棱錐P-B₁BC₁外接球的表面積，著重考查了長方體的對角線公式和球的表面積公式等知識，屬于基礎題．