Question

【題目】已知數列的前項和為，滿足，數列滿足.

（1）求數列、的通項公式；

（2），求數列的前項和；

（3）對任意的正整數，是否存在正整數，使得？若存在，請求出的所有值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）存在，.

【解析】

（1）利用可得，從而可得為等比數列，故可得其通項公式.用累加法可求的通項.

（2）利用分組求和法可求，注意就的奇偶性分類討論.

（3）根據的通項可得，故考慮的解可得滿足條件的的值.

（1）在數列中，當時，.

當時，由得，

因為，故，

所以數列是以為首項，為公比的等比數列即.

在數列中，當時，有，

由累加法得，，

.

當時，也符合上式，所以.

(2) .

當為偶數時，

=；

當為奇數時，

=.

(3)對任意的正整數,有，

假設存在正整數，使得，則，

令，解得，又為正整數，

所以滿足題意.