Question

廣東某品牌玩具企業的產品以往專銷歐州市場，在歐債危機的影響下，歐州市場的銷量受到嚴重影響，該企業在政府的大力扶助下積極開拓國內市場，主動投入內銷產品的研制開發，并基本形成了市場規模，自2010年9月以來的第n個月（2010年9月為每一個月），產品的內銷量、出口量和銷售總量（內銷量與出口量的和）分別為b_n、c_n和a_n（單位萬件），分析銷售統計數據發現形成如下營銷趨勢：b_n+1=aa_n，c_n+1=a_n+b

a

2 n

（其中a、b為常數），且a₁=1萬件，a₂=1.5萬件，a₃=1.875萬件．
（1）求a，b的值，并寫出a_n+1與a_n滿足的關系式；
（2）如果該企業產品的銷售總量a_n呈現遞增趨勢，且控制在2萬件以內，企業的運作正常且不會出現資金危機；試證明：a_n＜a_n+1＜2．
（3）試求從2010年9月份以來的第n個月的銷售總量a_n關于n的表達式．

Answer 1

分析：（1）依題意：a_n+1=b_n+1+c_n+1=aa_n+a_n+ba_n²，推出a+1+b=

3

2

，以及

3

2

a+

3

2

+b(

3

2

)2=

15

8

，求出a=1，b=-

1

2

得到a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²（n∈N^*）．
（2）證法（Ⅰ）利用a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²=-

1

2

（a_n-2）²+2≤2．可推得a₁=2與a₁=1矛盾．故a_n+1＜2，于是a_n＜2，通過單調性證明a_n＜a_n+1＜2．
方法（Ⅱ）用數學歸納法證明（ⅰ）驗證n=1時a₁＜a₂＜2成立，（ⅱ）假設n=k時，a_k＜a_k+1＜2成立．證明n=k+1時不等式也成立．
（3）通過a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²，推出{lg（2-a_n+1）-lg2}為等比數列，公比為2，然后求出a_n=2-(

1

2

)2n-1-1（n∈N^*）．

解答：解：（1）依題意：a_n+1=b_n+1+c_n+1=aa_n+a_n+ba_n²，
又a₂=aa₁+a₁+ba₁²，∴a+1+b=

3

2

…①
又a₃=aa₂+a₂+ba₂²，∴

3

2

a+

3

2

+b(

3

2

)2=

15

8

…②
解①②得a=1，b=-

1

2

從而a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²（n∈N^*）…（4分）
（2）證法（Ⅰ）由于a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²=-

1

2

（a_n-2）²+2≤2．
但a_n+1≠2，否則可推得a₁=2與a₁=1矛盾．故a_n+1＜2，于是a_n＜2，
又a_n+1-a_n=-

1

2

a_n²+2a_n-a_n=-

1

2

a_n（a_n-2）＞0，
所以a_n+1＞a_n，從而a_n＜a_n+1＜2．…（9分）
方法（Ⅱ）用數學歸納法
（ⅰ）當n=1時，a₁=1，a₂=1.5，顯然a₁＜a₂＜2成立，
（ⅱ）假設n=k時，a_k＜a_k+1＜2成立．
由于函數f（x）=-

1

2

x²+2x=-

1

2

（x-2）²+2在[0，2]上為增函數，
則f（a_k）＜f（a_k+1）＜f（2）即

1

2

a_k（4-a_k）＜

1

2

a_k+1（4-a_k+1）＜

1

2

×2×（4-2）
即a_k+1＜a_k+2＜2成立．綜上可得n∈N^*有a_n＜a_n+1＜2．…（9分）
（3）由a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²得2（a_n+1-2）=-（a_n-2）²，即（2-a_n+1）=

1

2

（2-a_n）²，
又由（2）知a_n＜a_n+1＜2，可知2-a_n+1＞0，2-a_n＞0，
則lg（2-a_n+1）=2lg（2-a_n）-lg2，∴lg（2-a_n+1）-lg2=2[lg（2-a_n）-lg2]
即{lg（2-a_n+1）-lg2}為等比數列，公比為2，首項為lg（2-a₁）-lg2=-lg2
故lg（2-a_n）-lg2=（-lg2）•2^n-1，∴a_n=2-(

1

2

)2n-1-1（n∈N^*）為所求．…（13分）

點評：本題考查數列的關系式，數學歸納法的應用，數列的函數特征，函數的單調性的應用，數列通項公式的求法，考查轉化思想，邏輯推理能力．