Question

（2006•朝陽區二模）一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積是

32

3

π，那么這個球的半徑是

2

，三棱柱的體積是

48

3

．

Answer 1

分析：由球的體積公式算出半徑R=2，結合題意得出正三棱柱的高h=2R=4．由球與正三棱柱的三個側面相切，得球的半徑和底面正三角形邊長的關系，算出出邊長a=4

3

，進而可得該三棱柱的體積．

解答：解：設球半徑為R，則
由球的體積公式，得

4

3

πR³=

32

3

π，解之得R=2．
∵球與正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，
∴正三棱柱的高h=2R=4．
設正三棱柱的底面邊長為a，可得其內切圓的半徑為
r=

1

3

×

3

2

a=2，解之得a=4

3

．
從而得出該正三棱柱的體積為
V=S_底•h=

1

2

×a×asin60°×h=

3

4

•（4

3

）²×4=48

3

故答案為：2，48

3

點評：本題給出與正三棱柱各個側面都相切的球，在已知球體積的情況下求三棱柱的體積．著重考查了正三棱柱的性質、球的體積公式和正三角形的內切圓等知識，屬于中檔題．