Question

是否存在同時滿足下列條件的拋物線？若存在，求出它的方程；若不存在，請說明理由．

(1)準線是y軸；

(2)頂點在x軸上；

(3)點A(3，0)到此拋物線上動點P的距離最小值是2.

Answer 1

解：假設存在這樣的拋物線，頂點為(a,0)，則方程為y²=4a（x-a）（a≠0），

    設P(x₀，y₀)，則y₀²=4a（x₀-a），

    ｜AP｜²=（x₀-3）²+y₀²

    =［x₀-（3-2a）］²+12a-8a²，

    令F（a）=｜AP｜²，

    ①當a＞0時，有x₀≥a，

    當3-2a≥a即a∈（0，1）時，

    ｜AP｜²=F（3-2a）,

    ∴a=1或a=;

    拋物線方程為

    y²=4（x-1）或y²=2（x-）.

    當3-2a＜a即a＞1時,

    ｜AP｜²=F（a）.

    ∴a=5或a=1(舍),

    拋物線方程為y²=20（x-5）.

    ②當a＜0時，顯然與已知矛盾,

∴所求拋物線方程為y²=4（x-1）或y²=2（x-）或y²=20（x-5）．