Question

如圖，一個小球從M處投入，通過管道自上而下落A或B或C．已知小球從每個叉口落入左右兩個管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式進行促銷活動，若投入的小球落到A，B，C，則分別設為l，2，3等獎．
（I）已知獲得l，2，3等獎的折扣率分別為50%，70%，90%．記隨變量ξ為獲得k（k=1，2，3）等獎的折扣率，求隨機變量ξ的分布列及期望Εξ；
（II）若有3人次（投入l球為l人次）參加促銷活動，記隨機變量η為獲得1等獎或2等獎的人次，求P（η=2）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解：由題意知隨變量ξ為獲得k等獎的折扣，則ξ的可能取值是50%，70%，90%，結合變量對應的事件和等可能事件的概率公式寫出變量的分布列，做出期望．
（2）根據第一問可以得到獲得一等獎或二等獎的概率，根據小球從每個叉口落入左右兩個管道的可能性是相等的．可以把獲得一等獎或二等獎的人次看做符合二項分布，根據二項分布的概率公式得到結果．

解答：解：（Ⅰ）解：隨變量量ξ為獲得k（k=1，2，3）等獎的折扣，則ξ的可能取值是50%，70%，90%
P（ξ=50%）=

3

16

，P（ξ=70%）=

6

16

，P（ξ=90%）=

7

16

∴ξ的分布列為

∴Εξ=

3

16

×50%+

3

8

×70%+

7

16

90%=

3

4

．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，獲得1等獎或2等獎的概率為

3

16

+

3

8

=

9

16

．
由題意得η～（3，

9

16

）
則P（η=2）=C₃²（

9

16

）²（1-

9

16

）=

1701

4096

．

點評：本題主要考查隨機事件的概率和隨機變量的分布列、數學期望、二項分布等概念，同時考查抽象概括、運算求解能力和應用意識，是一個綜合題．