Question

在一個矩形體育館的一角MAN內（如圖所示），用長為a的圍欄設置一個運動器材儲存區域，已知B是墻角線AM上的一點，C是墻角線AN上的一點．
（1）若BC=a=10，求儲存區域三角形ABC面積的最大值；
（2）若AB=AC=10，在折線MBCN內選一點D，使DB+DC=a=20，求儲存區域四邊形DBAC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設AC=x，AB=y，（x，y為正數），由勾股定理可得x²+y²=10²=100，而三角形ABC的面積為：

1

2

xy，由基本不等式可得

1

2

xy≤

1

2

•

x2+y2

2

=25．
（2）只考慮三角形BCD的面積變化，點D的軌跡是一個橢圓，B、C是其焦點，結合橢圓的知識得結果．

解答：解：（1）設AC=x，AB=y，（x，y為正數），由勾股定理可得x²+y²=10²=100，
而三角形ABC的面積為：

1

2

xy，由基本不等式可得

1

2

xy≤

1

2

•

x2+y2

2

=25
當且僅當x=y，即AB=AC時，三角形ABC的面積取最大值25
（2）因為四邊形DBAC面積可分為ABC跟BCD兩個三角形來計算，而ABC面積為定值可先不考慮，
故只考慮三角形BCD的面積變化，以BC為底邊，故當D點BC 的距離最長時面積取得最大值．
因為DB+DC=a=20總成立，所以點D的軌跡是一個橢圓，B、C是其焦點，
結合橢圓的知識可以知道只有當D點在BC的中垂線上時點D到BC的距離才能取得最大值，
再結合題意四邊形DBAC剛好是一個邊長為10的正方形，
故其面積最大值為：100．

點評：本題為基本不等式和橢圓知識的結合，數列掌握基本不等式和橢圓的定義是解決問題關鍵，屬中檔題．