Question

設f(n)＝＋＋…＋，是否存在一個最大的自然數m，使不等式f(n)＞對n∈N^*恒成立?若不存在，說明理由；若存在，求出m的值，并證明結論．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：估算一下f(1)＝，f(2)＝＞，f(3)＝，令＞，得m＜18，所以m的最大值為17．猜想有f(n)＞，下面用數學歸納法證明．

　　①當n＝1時，f(1)＝＞，不等式成立；

　　②假設當n＝k時，f(k)＝，則f(k＋1)＝f(k)．即n＝k＋1時，不等式f(n)＞也成立．

　　因此，存在最大自然數m＝17使f(n)＞對n∈N^*成立．

　　分析：先估算了符合條件的m的范圍，再在該范圍中求出最大的自然數m的值．

　　點評：此題也可直接求f(n)的最小值＞，即說明不等式對n∈N·恒成立．可以用f(n)(不等式放縮)，或利用f(n)單調遞增來說明f(1)最小．