Question

橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為.點P(1，)、A、B在橢圓E上，且＋＝m(m∈R)．
(1)求橢圓E的方程及直線AB的斜率；
(2)求證：當△PAB的面積取得最大值時，原點O是△PAB的重心．

Answer 1

解：（1）由=及解得a²=4，b²=3，
橢圓方程為；…………………………………………………………2分
設A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂），由得
（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，），即 
又，，兩式相減得
;………………………6分
（2）設AB的方程為y=，代入橢圓方程得：x²-tx+t²-3=0，
△=3(4-t²)，|AB|=，
點P到直線AB的距離為d=，
S_△PAB     == （-2<t<2）.……………….10分
令f(t) =3(2-t)³(2+t)，則f’(t)=-12(2-t)²(t+1)，由f’(t)=0得t=-1或2（舍），
當-2<t<-1時，f’(t)>0，當-1<t<2時f’(t)<0，所以當t=-1時，f(t)有最大值81，
即△PAB的面積的最大值是；                
根據韋達定理得x₁+x₂=t=-1，而x₁+x₂=2+m，所以2+m=-1，得m=-3，
于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，
因此△PAB的重心坐標為(0，0)．……………………………………………………13分

略