Question

從某高校新生中隨機抽取100名學生，測得身高情況（單位：cm）并根據身高評定其發育標準如右表所示：
（Ⅰ）請在頻率分布表中的①、②位置上填上相應的數據，估計該批新生中發育正常或較好的概率；
（Ⅱ）按身高分層抽樣，現已抽取20人準備參加世博會志愿者活動，其中有3名學生擔任迎賓工作，記“這3名學生中身高低于170cm的人數”為ξ，求ξ的分布列及期望．

分組	頻數	頻率	評定類型
[160，165）	5	0.05	發育不良
[165，170）	①	0.200	發育一般
[170，175）	35	②	發育正常
[175，180）	30	0.300	發育較好
[180，185）	10	0.100	發育超常
合計	100	1.00

Answer 1

分析：（I）由題意及分布表性質可知：①處填20，②處填0.35，再有互斥事件的概率公式可知該批新生中發育正常或較好的概率值P；
（II）有與（I）及統計中分層抽樣的方法，從中選取20人，則其中“身高低于170”得有5人，身高鼻地獄170cm“的有15人，故由題意ξ的可能值為：1，2，3，利用隨機變量的定義及古典概型隨機事件的概率公式即可求得隨機變量的分布列及期望．

解答：解：（I）有頻率分布表性質可知：①處填20，②處填0.35，
       設該批新生中發育正常或較好的概率為P，則根據頻率分布表可知P=0.35+0.3=0.65，；
（II）用分層抽樣的方法，從中選取20人，則其中“身高低于170”得有5人，身高鼻地獄170cm“的有15人，故由題意ξ的可能值為：1，2，3且
P（ξ=0）=

C 3 15

C 3 20

=

91

228

，P（ξ=1）=

C 2 15 C 1 5

C 3 20

=

35

76

，P（ξ=2）=

C 1 15 C 2 5

C 3 20

=

5

38

，P（ξ=3）=

C 3 5

C 3 20

=

1

114

，
所以隨機變量ξ的分布列為：

所以隨機變量ξ的期望Eξ=0×

91

228

+1×

35

76

+2×

5

38

+3×

1

114

 =

3

4

．

點評：此題考查了頻率分布直方圖的性質，互斥事件同時發生的概率公式，還考查有統計中的分層抽樣，及隨機變量的分布列與期望定義，此題屬于容易得分的題目．但一定注意計算中別數據出錯．