Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別是AB，BB₁的中點，
（1）求DF與平面ABCD成角的正切值； 
（2）求證：EF⊥平面A₁D₁B．

Answer 1

分析：（1）利用正方體的性質及線面角的定義即可得出；
（2）利用正方體的性質、三角形的中位線定理、線面垂直的判定和性質定理即可得出．

解答：（1）解：如圖所示：由正方體可知：B₁B⊥底面ABCD，∴∠FDB為DF與平面ABCD所成的角．
不妨設正方體的棱長AB=2，則BD=2

2

．
∵F分別是BB₁的中點，∴BF=1．
在Rt△BFD中，tan∠BDF=

BF

BD

=

1

2 2

=

2

4

．
∴DF與平面ABCD成角的正切值是

2

4

．
（2）∵E，F分別是AB，BB₁的中點，∴EF∥AB₁．
∵A₁B⊥AB₁，∴EF⊥A₁B．
由正方體可知：D₁A₁⊥EF，又D₁A₁∩A₁B=A₁．
∴EF⊥平面A₁BD₁．

點評：熟練掌握正方體的性質、線面角的定義、三角形的中位線定理、線面垂直的判定和性質定理是解題的關鍵．