Question

已知函數 f（x）=

1

2

x²-2alnx+（a-2）x，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的最小值．
（Ⅱ）當a=-1時，求證：無論c 取何值，直線y=-6

2

x+c均不可能與函數f（x）相切；
（Ⅲ）是否存在實數a對任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，若存在求出a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數解析式，求導后得到導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，根據導函數在各區間段內的符號得到原函數的單調性，從而求出函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）把a=-1代入原函數，求出導函數后利用基本不等式求出導函數的值域，從而說明無論c 取何值，直線y=-6

2

x+c均不可能與函數f（x）相切；
（Ⅲ）假設存在實數a使得對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，假設0＜x₁＜x₂，則f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁恒成立，構造輔助函數g（x）=f（x）-ax，只要使函數g（x）在定義域內為增函數即可，利用其導函數恒大于等于0可求解a的取值范圍．

解答：解；（Ⅰ）：（Ⅰ）顯然函數f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=1時，f′(x)=

x2-x-2

x

=

(x-2)(x+1)

x

，(x＞0)．
∴當x∈（0，2）時，f^′（x）＜0，當x∈（2，+∞）時，f^′（x）＞0．
∴f（x）在x=2時取得最小值，其最小值為f（2）=-2ln2；
（Ⅱ）∵a=-1，∴f′(x)=x+

2

x

-3，
假設直線與f（x）相切，設切點為（x₀，y₀），則f′(x0)=-6

2

．
∵x＞0，∴f′(x)=x0+

2

x0

-3≥2

2

-3＞-6

2

，所以f′(x0)≠-6

2

，
所以無論c取何值，直線y=-6

2

x+c均不可能與函數f（x）相切；
（Ⅲ）假設存在實數a使得對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，
不妨設0＜x₁＜x₂，則f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁恒成立．
令g（x）=f（x）-ax，只要g（x）在（0，+∞）為增函數．
又函數g(x)=

1

2

x2-2alnx-2x．
考查函數g′(x)=x-

2a

x

-2=

x2-2x-2a

x

=

(x-1)2-1-2a

x

．
要使g^′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，只要-1-2a≥0，即a≤-

1

2

，
故存在實數a∈(-∞，-

1

2

]對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立．

點評：本題考查了利用導數研究曲線在某點出的切線方程，考查了利用導數求函數的最值，考查了數學轉化思想方法，訓練了利用構造函數法證明不等式恒成立問題，是難題．