Question

已知函數f(x)=

ax+b

x2+1

是定義在(-1，1)上的奇函數，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）確定函數f（x）的解析式；
（2）當x∈（-1，1）時判斷函數f（x）的單調性，并證明；
（3）解不等式f（2x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析：（1）利用函數為奇函數，可得b=0，利用f(

1

2

)=

2

5

，可得a=1，從而可得函數f（x）的解析式；
（2）利用導數的正負，可得函數的單調性；
（3）利用函數單調增，函數為奇函數，可得具體不等式，從而可解不等式．

解答：解：（1）由題意可知f（-x）=-f（x）
∴

-ax+b

x2+1

=-

ax+b

x2+1

∴-ax+b=-ax-b，∴b=0
∵f(

1

2

)=

2

5

，∴a=1
∴f(x)=

x

x2+1

；
（2）當x∈（-1，1）時，函數f（x）單調增，證明如下：
∵f′(x)=

(1-x)(1+x)

(x2+1)2

，x∈（-1，1）
∴f′（x）＞0，∴當x∈（-1，1）時，函數f（x）單調增；
（3）∵f（2x-1）+f（x）＜0，且f（x）為奇函數
∴f（2x-1）＜f（-x）
∵當x∈（-1，1）時，函數f（x）單調增，
∴

-1＜2x-1＜1 -1＜-x＜1 2x-1＜-x

∴0＜x＜

1

3

∴不等式的解集為（0，

1

3

）．

點評：本題主要考查應用奇偶性來求函數解析式，考查函數的單調性，還考查了綜合運用奇偶性和單調性來解不等式的能力，屬于中檔題．