Question

21.已知雙曲線的中心在原點,右頂點為A（1,0）,點P、Q在雙曲線的右支上,點M（m,0）到直線AP的距離為1.

（Ⅰ）若直線AP的斜率為k,且|k|∈［,］,求實數m的取值范圍;

（Ⅱ）當m =+1時,△APQ的內心恰好是點M,求此雙曲線的方程.

Answer 1

21.本題主要考查直線、雙曲線方程和性質等基礎知識,考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.

解：（Ⅰ）由條件得直線AP的方程y=k（x－1）,

即kx－y－k=0.

因為點M到直線AP的距離為1,

∴=1,

即|m－1|==.

∵|k|∈［,］,

∴≤|m－1|≤2,

解得+1≤m≤3或－1≤m≤1－.

∴m的取值范圍是［－1,1－］∪［1+,3］.

（Ⅱ）可設雙曲線方程為x²－=1（b≠0）,

由M（+1,0）,A（1,0）,得|AM|=.

又因為M是△APQ的內心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45°,

直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1.

因此,k_AP=1,k_AQ=－1,（不妨設P在第一象限）

直線PQ方程為x=2+.直線AP的方程y=x－1,

∴解得P的坐標是（2+,1+）.

將P點坐標代入x²－=1得

b²=.

所以所求雙曲線方程為x²－y²=1,

即x²－（2－1）y²=1.