Question

【題目】若函數(shù)滿足：在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)為“的飽和函數(shù)”.給出下列四個(gè)函數(shù)：①；②； ③；④.其中是“的飽和函數(shù)”的所有函數(shù)的序號(hào)是______________.

Answer 1

【答案】②④

【解析】①f（x）=，D=（﹣∞，0）∪（0，+∞），

若f（x）=是“1的飽和函數(shù)”，

則存在非零實(shí)數(shù)x0，使得=，

即x02+x0+1=0，

因?yàn)榇朔匠虩o實(shí)數(shù)解，

所以函數(shù)f（x）=不是“1的飽和函數(shù)”．

②f（x）=2x，D=R，則存在實(shí)數(shù)x0，使得2x0+1=2x0+2，解得x0=1，

因?yàn)榇朔匠逃袑?shí)數(shù)解，

所以函數(shù)f（x）=2x是“1的飽和函數(shù)”．

③f（x）=lg（x2+2），若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）

則lg[（x+1）2+2]=lg（x2+2）+lg3

即2x2﹣2x+3=0，

∵△=4﹣24=﹣20＜0，故方程無解．

即f（x）=lg（x2+2）不是“1的飽和函數(shù)”．

④f（x）=cosπx，存在x=，使得f（x+1）=f（x）+f（1），

即f（x）=cosπx是“1的飽和函數(shù)”．

故答案為：②④．