Question

函數f（x）滿足：（1）定義域是（0，+∞）；（2）當x＞1時，f（x）＜2；（3）對任意x，y∈（0，+∞），總有f（xy）=f（x）+f（y）-2．則
（1）求出f（1）的值；
（2）寫出一個滿足上述條件的具體函數；
（3）判斷函數f（x）的單調性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析：（1）要求f（1），結合已知由題意對任意x，y∈（0，+∞），總有f（xy）=f（x）+f（y）-2可考慮賦值，令x=y=1，可求f（1）
（2）由任意x，y∈（0，+∞），總有f（xy）=f（x）+f（y）-2，類似對數的運算性質，聯想對數函數
（3）要證函數的單調性，需設0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，由已知x＞1時，f（x）＜2可得，f(

x2

x1

)＜2，故構造f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)-2＜2+f（x₁）-2=f（x₁），從而可證

解答：解：（1）由題意對任意x，y∈（0，+∞），總有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
令x=y=1，可得f（1）=2f（1）-2∴f（1）=2
（2）f(x)=log

1

2

x+2
（3）設0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1
由已知x＞1時，f（x）＜2可得，f(

x2

x1

)＜2
∴f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)-2＜2+f（x₁）-2=f（x₁）
即f（x₂）＜f（x₁）
∴函數f（x）在（0，+∞）單調遞減

點評：本題以抽象函數為載體，考查利用賦值求解函數值的問題，而函數的單調性的證明的最基本的方法是利用函數單調性的定義，解決此問題的關鍵是要根據題目中的條件進行合理的構造，以達到比較f（x₁），f（x₂）的大小的目的