Question

對于數列{a_n}，定義數列{b_m}如下：對于正整數m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）設{a_n}是單調遞增數列，若a₃=4，則b₄=

 

；
（Ⅱ）若數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1，n∈N^*，則數列{b_m}的通項是

 

．

Answer 1

分析：利用新定義數列{b_m}如下：對于正整數m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值可以直接求解．（Ⅰ）由題意a_n≥4的最小的n為3，也就是 b₄=3．（Ⅱ）滿足a_n≥m的最小的n為[

m+1

2

+

1

2

]=[

m

2

]+1（其中[x]表示不超過x的最大整數）．

解答：解：（Ⅰ）因為 {a_n}單調遞增，所以，當n＞3時，a_n＞4，當n=3時，a_n=4；
所以，a_n≥4的最小的n為3，也就是 b₄=3．
（Ⅱ）設a_n≥m，則2n-1≥m，n≥

m+1

2

，
所以，滿足a_n≥m的最小的n為[

m+1

2

+

1

2

]=[

m

2

]+1（其中[x]表示不超過x的最大整數）；
即b_m=[

m

2

]+1，即當m是奇數時，bm=

m+1

2

，當m是偶數時bm=

m+2

2

故答案為3；bm =

m+1 2 ，m是奇數 m+2 2 ，m是偶數

點評：本題主要考查數列的概念、數列的基本性質，考查運算能力、推理論證能力、分類討論等數學思想方法．本題是數列與不等式綜合的較難層次題．