Question

在平面直角坐標系xOy中，點Q到兩點M(0，-

3

)，N(0，

3

)的距離之和等于4，記點Q的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）以MN為直徑的圓與曲線C有幾個公共點？要說明理由；
（Ⅲ）P是曲線C上一點，則使△PMN是直角三角形的點P有幾個？（直接作答，不寫過程）

Answer 1

分析：（Ⅰ）設Q（x，y），QM+QN=4＞MN．由橢圓定義可知，點Q的軌跡C是以M(0，-

3

)，N(0，

3

)為焦點，長半軸為2的橢圓，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）以MN為直徑的圓的方程是x²+y²=3，聯立方程

x2+y2=3 x2+ y2 4 =1

，解得

x= 3 3 y= 2 6 3

，或

x=- 3 3 y=- 2 6 3

，或

x= 3 3 y=- 2 6 3

，或

x=- 3 3 y= 2 6 3

，由此知以MN為直徑的圓與曲線C有4個公共點．
（Ⅲ）P取MN為直徑的圓與曲線C有4個公共點，能得到4個直角三角形；分別過M，N作MN的垂線，與曲線C得到四個不同的交點P，從而得到另外四個直角三角形，故使△PMN是直角三角形的點P有8個．

解答：解：（Ⅰ）設Q（x，y），QM+QN=4＞MN．
由橢圓定義可知，點Q的軌跡C是以M(0，-

3

)，N(0，

3

)為焦點，長半軸為2的橢圓．
它的短半軸b=

22-( 3 )2

=1，故曲線C的方程為x2+

y2

4

=1．
（Ⅱ）以MN為直徑的圓的方程是x²+y²=3，
聯立方程

x2+y2=3 x2+ y2 4 =1

，解得

x= 3 3 y= 2 6 3

，或

x=- 3 3 y=- 2 6 3

，或

x= 3 3 y=- 2 6 3

，或

x=- 3 3 y= 2 6 3

，
所以，曲線C與圓x²+y²=3的公共點有(

3

3

，

2 6

3

)，(-

3

3

，-

2 6

3

)，(-

3

3

，-

2 6

3

)和(-

3

3

，-

2 6

3

)，
故，以MN為直徑的圓與曲線C有4個公共點．
（Ⅲ）使△PMN是直角三角形的點P有8個．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．