Question

【題目】已知函數滿足：對任意，，都有成立，且時，．

（1）求的值，并證明：當時，；

（2）判斷的單調性并加以證明；

（3）若函數在上遞減，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），證明見解析；（2）在上是增函數，證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）令可求得或，根據時，可排除，設，則，那么，再由可得結論；（2）設，則，∴，可證；（3）若函數在上遞減，即時，，根據單調性，，進而.

試題解析：（1）∵，

∴，或．

若，則，

與已知條件時，相矛盾，

所以．

設，則，那么．

又，

∴，

∵，∴，從而．

（2）函數在上是增函數，設，則，∴，

，

∵由（1）可知對任意，，∴，

又，∴，

即，

∴函數在上是增函數．

（3）∵由（2）知函數在上是增函數，

∴函數在上也是增函數，若函數在上遞減，

則當時，，即時，，

∵時，，

∴．