Question

已知函數f(x)=

x2

ax+b

(a，b為常數)，且方程f（x）-1=0有兩個實根為x₁=-2，x₂=1
（1）求函數f（x）的解析式
（2）設k＞1，解關于x的不等式：f(x)＜

(k+1)x-k

2-x

．

Answer 1

（1）∵函數f(x)=

x2

ax+b

(a，b為常數)，且方程f（x）-1=0有兩個實根為x₁=-2，x₂=1，
∴將x₁=-2，x₂=1分別代入方程

x2

ax+b

-1=0，
∴

4 -2a+b -1=0 1 a+b -1=0

，解得

a=-1 b=2

，
故f(x)=

x2

2-x

(x≠2)；
（2）由（1）可知，f(x)=

x2

2-x

(x≠2)，
∴不等式f(x)＜

(k+1)x-k

2-x

即為

x2

2-x

＜

(k+1)x-k

2-x

，
整理可得，

x2-(k+1)x+k

2-x

＜0，
即（x-2）（x-1）（x-k）＞0，
①當1＜k＜2時，不等式的解集為（1，k）∪（2，+∞）；
②當k=2時，不等式即為（x-2）²（x-1）＞0，
∴不等式的解集為（1，2）∪（2，+∞）；
③當k＞2時，不等式的解集為（1，2）∪（k，+∞）．
綜合①②③可得，當1＜k＜2時，不等式的解集為（1，k）∪（2，+∞），
當k=2時，不等式的解集為（1，2）∪（2，+∞），
當k＞2時，不等式的解集為（1，2）∪（k，+∞）．