Question

如圖，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角M-AC-B的大小；
（Ⅲ）求三棱錐P-MAC的體積．

Answer 1

【答案】分析：法一（Ⅰ）通過證明PC⊥平面ABC，證明平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）取BC的中點N，則CN=1，連接AN，MN，說明∠MHN為二面角M-AC-B的平面角，解三角形求二面角M-AC-B的大小；
（Ⅲ）三棱錐P-MAC的體積，轉化V_P-MAC=V_A-PCM=V_A-MNC=V_M-ACN，求出底面ACN的面積，求出高MN即可．

法二（Ⅱ）在平面ABC內，過C作CD⊥CB，建立空間直角坐標系C-xyz，求出平面MAC的一個法向量為，
平面ABC的法向量取為=（{0，0，1}）利用，解答即可．
（Ⅲ）取平面PCM的法向量取為=（{1，0，0}），則點A到平面PCM的距離，求出體積即可．
解答：解法一：
（Ⅰ）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，
∴PC⊥平面ABC，
又∵PC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅱ）取BC的中點N，則CN=1，連接AN，MN，
∵PMCN，∴MNPC，從而MN⊥平面ABC
作NH⊥AC，交AC的延長線于H，連接MH，則由三垂線定理知，AC⊥NH，
從而∠MHN為二面角M-AC-B的平面角
直線AM與直線PC所成的角為60
∴∠AMN=60°
在△ACN中，由余弦定理得AN=；
在△AMN中，MN=AN•cot∠AMN==1；
在△CNH中，NH=CN•sin∠NCH=1×；
在△MNH中，MN=tan∠MHN=；
故二面角M-AC-B的平面角大小為arctan．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PCMN為正方形
∴V_P-MAC=V_A-PCM=V_A-MNC=V_M-ACN=

解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面ABC內，過C作CD⊥CB，建立空間直角坐標系C-xyz（如圖）
由題意有，設P（0，0，z）（z＞0），
則M（0，1，z），
由直線AM與直線PC所成的解為60°，得，即z²=，解得z=1
∴，設平面MAC的一個法向量為，
則，取x₁=1，得，
平面ABC的法向量取為，
設與所成的角為θ，則cosθ=，
顯然，二面角M-AC-B的平面角為銳角，
故二面角M-AC-B的平面角大小為arccos．

（Ⅲ）取平面PCM的法向量取為，則點A到平面PCM的距離h=，
∵|=1，∴V_P-MAC=V_A-PCM═．
點評：本題主要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、三棱錐體積等有關知識，考查思維能力和空間想象能力、應用向量知識解決數學問題的能力、化歸轉化能力和推理運算能力．