Question

設M（k）是滿足不等式log₂₅x+log₂₅（26×25^k-1-x）≥2k-1的正整數x的個數，記S=M（1）+M（2）+…+M（n）  n∈N．
（1）求S；
（2）設t=5ⁿ-²+5ⁿ⁺²+n-2  （n∈N），試比較S與t的大小．

Answer 1

分析：（1）先將原不等式化簡得x²-26•25^k-1x+25^2k-1≤0，利用換元法解出x的范圍，從而得出正整數x的個數M（k）=25^k-25^k-1+1 再利用等比數列的求和公式求得S=（25¹-25⁰+1）+（25²-25¹+1）+…+（25ⁿ-25^n-1+1）即可；
（2）因S-t=（5²ⁿ-

626

25

•5n+1=(5n-

1

25

)(5n-25)＞0，只要 5ⁿ＞25或5ⁿ＜

1

25

，求得其等價的條件，從而得出S與t的大小與相應的n的值．

解答：解：（1）化簡得   x²-26•25^k-1x+25^2k-1≤0
∴25^k-1≤x≤25^k  …（3分）
∴M（k）=25^k-25^k-1+1  …（5分）
S=（25¹-25⁰+1）+（25²-25¹+1）+…+（25ⁿ-25^n-1+1）=25ⁿ+n-1…（8分）
（2）要S-t=（5²ⁿ-

626

25

•5n+1=(5n-

1

25

)(5n-25)＞0…（11分）
只要 5ⁿ＞25或5ⁿ＜

1

25

即：n＞2或n＜-2           …（13分）
∴當n＞2 時s＞t；當n=2時s=t； 當n=1時s＜t     …（16分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、對數函數圖象與性質的綜合應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．