Question

平面向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，若存在不同時為0的實數k和t，使

x

=

a

+(t2-3)

b

，

y

=-k

a

+t

b

，且

x

⊥

y

，試確定函數k=f（t）的單調區間．

Answer 1

分析：利用兩個向量垂直的性質可得 

x

•

y

=[

a

+(t2-3)

b

]•(-k

a

+t

b

)=0，化簡求得 k=

1

4

（t³-3t ），
故 f（t）=

1

4

（t³-3t ），利用導數求函數f（t） 的單調區間．

解答：解：由

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)得，

a

•

b

=0，|

a

|=2，|

b

|=1．
再由

x

⊥

y

可得 

x

•

y

=[

a

+(t2-3)

b

]•(-k

a

+t

b

)=0，
即-k

a2

+t

a

•

b

-k(t2-3)

a

•

b

+t(t2-3)

b2

=0．
故有-4k+t³-3t=0，k=

1

4

（t³-3t ），故 f（t）=

1

4

（t³-3t ）．
 由 f′（t）=

3

4

t²-

3

4

＞0，解得 t＜-1，或 t＞1．
令f′（t）=

3

4

t²-

3

4

＜0，解得-1＜t＜1．
所以f（t）的增區間為（-∞，-1）、（1，+∞）；減區間為（-1，1）．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算，兩個向量垂直的性質，利用導數求函數的單調區間，屬于中檔題．