Question

17、已知數列{a_n}前n項和為S_n且2a_n-S_n=2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n（n≥1），求{b_n}通項公式及前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知2a_n+1-2a_n-（S_n+1-S_n）=0．所以a_n+1=2a_n．再由2a₁-S₁=2知a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列，由此可知{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由題意知b_n+1-b_n=2ⁿ，所以b₂-b₁=2，b₃-b₂=2²，b₄-b₃=2³，，b_n-b_n-1=2^n-1，故b_n=2ⁿ-1，由此可知T_n=（2+2²++2^n-1+2ⁿ）-n=2ⁿ⁺¹-（n+2）．

解答：解：（Ⅰ）∵2a_n-S_n=2，∴2a_n+1-S_n+1=2
兩式相減得2a_n+1-2a_n-（S_n+1-S_n）=0．∴a_n+1=2a_n．
又n=1時，2a₁-S₁=2．∴a₁=2
∴{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列（3分）
∴a_n=a₁q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ（6分）
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+a_n，∴b_n+1-b_n=2ⁿ（8分）
∴b₂-b₁=2，b₃-b₂=2²，b₄-b₃=2³，，b_n-b_n-1=2^n-1
相加，b_n-b₁=2+2²+2³++2^n-1，∵b₁=1，
∴b_n=1+2+2²++2^n-1=2ⁿ-1）
即b_n=2ⁿ-1（12分）
∴T_n=（2+2²++2^n-1+2ⁿ）-n=2ⁿ⁺¹-（n+2）（14分）

點評：本題考查數列的性質和綜合運用，難度較大，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．