Question

 

已知數列滿足：，且對一切，有，其中為數列的前項和．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）證明：．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：

（Ⅰ）法一：歸納得，然后用數學歸納法證明（略）．

法二：由條件得………①

所以………②

①—②得，則……………2分

所以，又，

所以…………③

則…………④

③—④得，從而……………2分

又由已知易得，所以數列是以首項為，公差為1的等差數列

所以……………5分

（Ⅱ）證明：由第（1）問的解答可知，則

令，則

則當時，，所以在上單調遞增；

      當時，，所以在上單調遞減

故在處取得極大值

所以當時，，即……………7分

則當，時，，則有

又當，時，恒有，則有

兩式相乘有……………9分

于是

 

 

 

                                                                        ……………12分