Question

如圖所示是一個幾何體的直觀圖、正視圖、俯視圖、側視圖（其中正視圖為直角梯形，俯視圖為正方形，側視圖為直角三角形，尺寸如圖所示）．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）證明：BD∥平面PEC；
（3）若G為BC上的動點，求證：AE⊥PG．

Answer 1

分析：（1）結合三視圖，得到幾何體的相關棱長，求四棱錐P-ABCD的底面面積和高，然后求出體積；
（2）連接AC交BD于O點，取PC中點F，連接OF，要證明BD∥平面PEC，只需證明BD平行平面PEC內的直線EF即可；
（3）連接BP，要證AE⊥PG，只需證明AE⊥平面PBG，即可證明AE⊥PG．

解答：解：（1）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA=4

2

，BE=2

2

，AB=AD=CD=CB=4，
∴V_P-ABCD=

1

3

PA×S_ABCD=

1

3

×4

2

×4×4=

64 2

3

．
（2）證明：連接AC交BD于O點，
取PC中點F，連接OF，
∵EB∥PA，且EB=

1

2

PA，
又OF∥PA，且OF=

1

2

PA，
∴EB∥OF，且EB=OF，
∴四邊形EBOF為平行四邊形，
∴EF∥BD．
又EF?平面PEC，BD?平面PEC，所以BD∥平面PEC．
（3）連接BP，∵

EB

AB

=

BA

PA

=

1

2

，∠EBA=∠BAP=90°，
∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA=∠BEA，
∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°，
∴PB⊥AE．
又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，
∴AE⊥平面PBG，∴AE⊥PG．

點評：本題考查三視圖，幾何體的條件，直線與平面垂直和平行的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．