Question

（2007•鹽城一模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=2，BC=BB₁=1，D是棱A₁C₁的中點．
（1）設平面BB₁D與棱AC交于點E，確定點E的位置并給出理由；
（2）求直線AB與平面BB₁D所成角的大小；
（3）求二面角B-AD-B₁的大小．

Answer 1

分析：（1）證明：E是AC的中點．由題意可得：B₁B∥平面A₁CC₁A，再根據線面平行的性質定理可得：DE∥B₁B，即可得到DE∥A₁A，進而得到答案．
（2）由幾何體的結構得：平面BB₁DE⊥底面ABC．過A點作AM⊥BE，M是垂足，M在BE的延長線上，可得AM⊥平面BB₁DF，所以∠ABM就是直線AB與平面BDB₁所成角，再利用解三角形的知識求出答案即可（3）根據線段的長度關系可得：AB²=AD²+BD²，即AD⊥DB．在△ADB₁中，由余弦定理可得：∠ADB₁=120⁰，所以∠DAB₁=∠DB₁A=30°．過點D作DP⊥AD，垂足為P，則∠PDB是二面角B-AD-B₁的平面角，再利用解三角形的有關知識求出二面角的平面角即可．

解答：解：（1）證明：E是AC的中點．              …（1分）
由棱柱的性質知B₁B∥平面A₁CC₁A，
∵AB⊆平面ABD，平面A₁CC₁A∩平面BB₁D=DE，
∴所以DE∥B₁B，
∴DE∥A₁A，
因為D是A₁C₁的中點，
所以E是AC中點．…（4分）
（2）∵BB₁⊥底面，
∴平面BB₁DE⊥底面ABC．
過A點作AM⊥BE，M是垂足，M在BE的延長線上，
∴AM⊥平面BB₁DF
所以，∠ABM就是直線AB與平面BDB₁所成角．…（6分）
在直角△ACB中，AB=

5

，又因為∠BEC=∠AEM=45°，
所以AM=

2

2

，
∴sin∠ABM=

2 2

5

=

10

10

，∠ABM=arcsin

10

10

．　　　　　     …（8分）
（3）如圖，由題意可得：在直角AA₁D中AD=

2

，在直角△BB₁D中BD=

3

，在直角△ACB中AB=

5

，
∴AB²=AD²+BD²，
∴AD⊥DB．
在△ADB₁中，AD=DB1=

2

，AB1=

6

，
∴由余弦定理可得：∠ADB₁=120⁰，所以∠DAB₁=∠DB₁A=30°．
過點D作DP⊥AD，垂足為P，則∠PDB是二面角B-AD-B₁的平面角． …（11分）
連接BP，所以在等腰△ADB₁中DP=

6

3

，B1P=

6

3

，在直角△ABB₁中，BP=1，
所以在△PDB中，由余弦定理可得：cos∠PDB=

DP2+DB2-PB2

2DP•DB

=

( 6 3 )2+( 3 )2-1

2× 6 3 × 3

=

2 2

3

，
∴二面角B-AD-B₁的大小為arccos

2 2

3

．                        …（14分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，進而得到空間中點、線、面的位置關系，結合有關定理進行證明即可，并且也有利于建立空間之間坐標系，利用向量的有關知識解決空間角與空間距離等問題．