Question

已知f(x)=

2x-a

x2+2

(x∈R)在區間[-1，1]上是增函數
（ I）求實數a的取值范圍；
（ II）記實數a的取值范圍為集合A，且設關于x的方程f(x)=

1

x

的兩個非零實根為x₁，x₂．
①求|x₁-x₂|的最大值；
②試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+1＞|x₁-x₂|對?a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）先求導函數f'（x），然根據f（x）在[-1，1]上是增函數則f'（x）≥0在x∈[-1，1]恒成立，然后利用二次函數的性質進行解題即可求出a的取值范圍；
（II）①先求出集合A，然后根據f(x)=

1

x

得x²-ax-2=0，x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩個非零實根，利用根與系數的關系表示出|x₁-x₂|，最后根據a的范圍可求出|x₁-x₂|的最大值；
②要使m²+tm+1＞|x₁-x₂|對?a∈A及t∈[-1，1]恒成立，即m²+tm+1＞3即m²+tm-2＞0對?t∈[-1，1]恒成立，設 g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），將t看成變量，則g（t）是關于t的一次函數，然后建立不等式，解之即可求出所求m的取值范圍．

解答：解：（I）f′(x)=

-2(x2-ax-2)

(x2+2)2

…1分）
∵f（x）在[-1，1]上是增函數
∴f'（x）≥0即x²-ax-2≤0，在x∈[-1，1]恒成立 （1）（3分）
設 φ（x）=x²-ax-2，則由（1）得

φ(1)=1-a-2≤0 φ(-1)=1+a-2≤0

解得-1≤a≤1
所以，a的取值范圍為[-1，1]．…（6分）
（II）①由（I）可知A={a|-1≤a≤1}
由f(x)=

1

x

即

2x-a

x2+2

=

1

x

得x²-ax-2=0
∵△=a²+8＞0∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩個非零實根
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，又由（1）-1≤a≤1
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

≤3（9分）
∴|x₁-x₂|的最大值為3．
②要使m²+tm+1＞|x₁-x₂|對?a∈A及t∈[-1，1]恒成立
即m²+tm+1＞3即m²+tm-2＞0對?t∈[-1，1]恒成立（2）（11分）
設 g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
則由（2）得

g(-1)=m2-m-2＞0 g(1)=m2+m-2＞0

解得m＞2或m＜-2
故存在實數m∈（-∞，-2）∪（2，+∞）滿足題設條件（14分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及函數恒成立問題和根與系數的關系，同時考查了轉化的思想和計算的能力，屬于中檔題．