Question

已知函數f（x）=

a•2x，x≤0 log 1 2 x，x＞0

，若關于x的方程f（f（x））=0有且僅有一個實數解，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，0）
• B、（-∞，0）∪（0，1）
• C、（0，1）
• D、（0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：利用換元法設t=f（x），則方程等價為f（t）=0，作出函數f（x）的圖象，利用數形結合即可得出此題的關鍵是a•2^x取不到1和0．

解答： 解：設t=f（x），則f（t）=0，
若a＜0時，當x≤0，f（x）=a•2^x＜0．
由f（t）=0，即log

1

2

t=0，此時t=1，
當t=1得f（x）=1，此時x=

1

2

有唯一解，此時滿足條件．
若a=0，此時當x≤0，f（x）=a•2^x=0，此時函數有無窮多個點，不滿足條件．
若a＞0，當x≤0，f（x）=a•2^x∈（0，a]．
此時f（x）的最大值為a，
要使若關于x的方程f（f（x））=0有且僅有一個實數解，
則a＜1，此時0＜a＜1，
綜上實數a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1），
故選：B

點評：本題主要考查函數方程根的個數的應用，利用換元法，結合數形結合是解決本題的關鍵．